name: xaringan-title class: left, middle # Econometría I <br> ## Autocorrelación <br> <br> <img src="images/lognig.png" width="280" /> ### Carlos Yanes | Departamento de Economía | 2023-04-19 --- class: middle, inverse .left-column[ # 😅 ] .right-column[ # Preguntas de la sesion anterior? ] --- background-size: 100% background-image: url(https://media.giphy.com/media/wtrOPQEaIPkfC/giphy.gif) ??? Image test. Taken from gyfty. --- class: title-slide-section-red, middle # Antes de empezar ❗ ... <br> <img src="images/lognig.png" width="380" /> --- # Recordeis -- .pull-left[<img src="images/Zq1.jpg" width="340" />] -- .pull-right[<img src="images/Zq2.jpg" width="340" />] --- # Antes del arranque... 🚸 -- 1. Este curso tiene siempre .blue[teoría] por aprender. -- 2. Tendrá ventajas sobre los demás que hacen .grey[data science] si conoce o sabe de esto. -- 3. Los últimos test que hemos estado aprendiendo no son nada .blue[fáciles], requieren de saber **interpretar** los resultados de estos y del como esta planteada la .blue[prueba de hipótesis nula]. --- class: title-slide-section-grey, middle # Autocorrelación <br> <img src="images/lognig.png" width="380" /> --- # Autocorrelación --
Note un modelo de corte transversal: -- `$$Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1i}+\beta_{2}X_{2i}+u_{i}$$` -- - Donde `\(i\rightarrow N\)` --
Ahora uno de .blue[series de tiempo]: -- `$$Y_{i}=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1t}+\beta_{2}X_{2t}+u_{t}$$` -- - Donde `\(t\rightarrow T\)` -- > Las **series de tiempo** a diferencia de los cortes transversales (diferentes por individuos) difieren o varian por periodos de tiempo. -- ### Ejemplo --
Nos enfocamos en una .black[unidad/individuo] *p.e:* .grey[Colombia] --
Lo observamos varias veces en el .black[tiempo] *p.e:* .grey[Colombia: 2015-2025] --- # Autocorrelación: Series de Tiempo -- | Tiempo| Observaciones| |------:|-------------:| | 2017| 125| | 2018| 451| | 2019| 378| | 2020| 391| | 2021| 115| -- > En una .black[serie de tiempo] los reportes deben ir organizados por un **indice** que debe variar en el tiempo. -- - Para series con frecuencia mas desagregadas *p.e:* (mes, trimestre, semestre) habría que usar en **R** la opción de `frequency`: -- ```r y <- ts(datos, frequency=12, start=c(2010, 1)) ``` -- - *Donde 12 es la parte de frecuencia mensual y en la parte de `start` el año y mes donde inicia la serie*. --- # Autocorrelación: Series de Tiempo -- <img src="Class09_files/figure-html/tsa1-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Autocorrelación: Series de Tiempo -- <img src="Class09_files/figure-html/tsa2-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Autocorrelación: Series de Tiempo -- <img src="Class09_files/figure-html/tsas3-1.svg" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: title-slide-section-grey, middle # Modelos MCO <br> <img src="images/lognig.png" width="380" /> --- # Autocorrelación: Tipo de Modelos MCO -- Nuestro modelo inicial puede ser: `$$\begin{align} \text{Consumo}_t = \beta_0 + \beta_1 \text{Ingreso}_t + u_t \end{align}$$` -- O tal vez -- `$$\begin{align} \text{Consumo}_t = \beta_0 + \beta_1 \text{Ingreso}_t + \beta_2 \color{#e64173}{\text{Ingreso}_{t-1}} + u_t \end{align}$$` -- Incluso puede ser -- `$$\begin{align} \text{Consumo}_t = \beta_0 + \beta_1 \text{Ingreso}_t + \color{#e64173}{\beta_2 \text{Ingreso}_{t-1}} + \beta_3 \color{#6A5ACD}{\text{Consumo}_{t-1}} + u_t \end{align}$$` -- - Las **series** pueden ser .black[estáticos], un momento `\((t)\)` en .gray[particular] -- - Y de otra forma .black[dinámicos], que ya incluyen choques que afectan el futuro de la **serie**. --- # Autocorrelación: Tipo de Modelos MCO -- ### Concepto -- **Autocorrelación**: ocurre cuando nuestras *perturbaciones* están correlacionadas en el tiempo, *p.e*: `\(\mathop{\text{Cov}} \left( u_t,\, u_j \right) \neq 0\)` para `\(t\neq j\)` -- Otra forma de pensar: Si el choque de la perturbación `\((t)\)` se correlaciona con las perturbaciones "cercanas" en `\((t-1)\)` y `\((t+1)\)`. -- El término de .black[correlación serial] es el mismo que **Autocorrelación** --- class: title-slide-section-red # Operador rezago -- Hay que estar atentos a lo que significa un .blue[rezago], esto es: -- | Tiempo| Observaciones| Rezago| |------:|-------------:|------:| | 2017| 125| NA| | 2018| 451| 125| | 2019| 378| 451| | 2020| 391| 378| | 2021| 115| 391| -- Los .blue[rezagos] o "lags" permiten medir los efectos temporales de una variable. Esto puede estar bien para `\((Y)\)` pero mal para los residuos `\((u)\)`. -- *P.e.*:, -- <br>.mono[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} = x] -- <br>.mono[{.blue[?], 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = lag(x)] -- <br>.mono[{.blue[?], .blue[?], 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = lag(x, 2)] -- <br>.mono[{.blue[?], .blue[?], .blue[?], 1, 2, 3, 4, 5, 6} = lag(x, 3)] --- # Autocorrelación -- .black[Autocorrelación Positiva]: Residuos `\(\left( u_t \right)\)` en el tiempo <img src="Class09_files/figure-html/auto positiva-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Autocorrelación -- .black[Autocorrelación Positiva]: Dependiente `\(\left( y_t \right)\)` en el tiempo <img src="Class09_files/figure-html/y en positivo-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Autocorrelación -- .black[Autocorrelación Negativa]: Residuos `\(\left( u_t \right)\)` en el tiempo <img src="Class09_files/figure-html/auto negativa-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Autocorrelación -- .black[Autocorrelación Negativa]: Dependiente `\(\left( y_t \right)\)` en el tiempo <img src="Class09_files/figure-html/negativa yauto-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- # Autocorrelación: Modelos Estáticos -- Empecemos con un modelo muy común: un modelo de serie temporal estática cuyas perturbaciones presentan .black[autocorrelación de primer orden], *conocido como* .black[AR(1)]: -- `$$\begin{align} \text{Consumo}_t &= \beta_0 + \beta_1 \text{Ingreso}_t + u_t \end{align}$$` -- Donde -- `$$\begin{align} \color{#e64173}{u_t} = \color{#e64173}{\rho \, u_{t-1}} + \varepsilon_t \end{align}$$` -- Y el residuo `\(\varepsilon_t\)` es independiente e idénticamente distribuido (*i.i.d.*). -- Para una .blue[Autocorrelación de segundo-orden], o .blue[AR(2)], puede ser -- `$$\begin{align} \color{#6A5ACD}{u_t} = \color{#6A5ACD}{\rho_1 u_{t-1}} + \color{#6A5ACD}{\rho_2 u_{t-2}} + \varepsilon_t \end{align}$$` --- # Autocorrelación: Modelos Estáticos -- Un modelo/proceso .blue[AR(p)] tiene una estructura de perturbaciones: -- `$$\begin{align} u_t = \sum_{j=1}^\color{#20B2AA}{p} \rho_j u_{t-j} + \varepsilon_t \end{align}$$` -- Mostrando que las perturbaciones del presente `\((t)\)` estan correlacionadas con sus rezagos `\(\color{#20B2AA}{p}\)`. -- *Recuerde que `\(\rho\)` es similar a un parámetro `\(\beta\)` solo que este se usa como si estuviera modelando a las perturbaciones `\((e_t)\)`* --- # Autocorrelación: Problemas -- De forma similar a la **heterocedasticidad** tener .black[correlación serial] nos genera: -- - MCO con estimadores **insesgados**. -- - MCO los errores estandar `\((S.E)\)` de los `\((\beta's)\)` son **sesgados** -- - MCO es **ineficiente** -- > La autocorrelación se vuelve más complicada con las variables dependiente rezagadas. --- # Autocorrelación: Modelo Dinámico -- Considere un modelo de .grey[rezago distribuido] de tal manera que: -- `$$\begin{align} \text{Consumo}_t = \beta_0 + \beta_1 \text{Ingreso}_t + \beta_2 \text{Consumo}_{t-1} + u_t \end{align}$$` -- Donde -- `$$\begin{align} u_t = \rho u_{t-1} + \varepsilon_t \end{align}$$` -- **Problema:** -- Ambos `\(\text{Consumo}_{t-1}\)` (como regresor en el periodo `\(t\)`) y `\(u_{t}\)` (el residuo en `\(t\)`) dependen de `\(u_{t-1}\)`. *p.e.*, un regresor esta correlacionado con el residuo contemporaneo -- **P:** Por qué este problema? -- <br> **R./:** Esto viola .blue[Exogeneidad contemporanea] -- , *p.e.*, `\(\mathop{\text{Cov}} \left( x_t,\,u_t \right) \neq 0\)`. --- # Autocorrelación: Modelo Dinámico -- Para ver esto hay que escribir el modelo en `\(t\)` y en `\(t-1\)`: -- `$$\begin{align} \text{Consumo}_t &= \beta_0 + \beta_1 \text{Ingreso}_t + \beta_2 \text{Consumo}_{t-1} + u_t \\ \text{Consumo}_{t-1} &= \beta_0 + \beta_1 \text{Ingreso}_{t-1} + \beta_2 \text{Consumo}_{t-2} + u_{t-1} \end{align}$$` -- Observe ahora que `\(u_t = \rho u_{t-1} + \varepsilon_t\)`. -- `$$\begin{align} \text{Consumo}_t &= \beta_0 + \beta_1 \text{Ingreso}_t + \beta_2 \color{#6A5ACD}{\text{Consumo}_{t-1}} + \overbrace{\left( \rho \color{#e64173}{u_{t-1}} + \varepsilon_t \right)}^{u_t} \tag{1} \\ \color{#6A5ACD}{\text{Consumo}_{t-1}} &= \beta_0 + \beta_1 \text{Ingreso}_{t-1} + \beta_2 \text{Consumo}_{t-2} + \color{#e64173}{u_{t-1}} \tag{2} \end{align}$$` -- En `\((1)\)`, podemos ver que `\(u_t\)` depende de (esta correlacionado) `\(\color{#e64173}{u_{t-1}}\)`. <br> En `\((2)\)`, miramos entonces que `\(\color{#6A5ACD}{\text{Consumo}_{t-1}}\)`, un regresor en `\((1)\)`, también con covarianza con `\(u_{t-1}\)`. -- ∴ En síntesis, el modelo esta sesgado y no es **exogeno** --- # Autocorrelación: Test de corrección -- - Tenemos a .blue[Breush - Pagan] -- - Uno ampliamente conocido como .blue[Durbin-Watson] --- # Autocorrelación: Breush-Pagan -- **Paso 1:** Estima su modelo estático `\(\left( y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + u_t \right)\)` con MCO ```r modelo <- lm(y ~ x, data = base) ``` -- **Paso 2:** Agregamos residuos a la base ```r base$e <- residuals(modelo) ``` -- **Paso 3:** Estima la regresión del residuo con su rezago (**sin intercepto**) ```r mod_resid <- lm(e ~ -1 + lag(e), data = base) ``` --- # Autocorrelación: Breush-Pagan **Paso 4:** Observe el _t_ estadístico del parámetro `\((\hat{\rho})\)` que es el coeficiente en el paso 3. ```r tidy(mod_resid) ```
term
estimate
std.error
statistic
p.value
lag(e)
0.973
0.0508
19.1
1.28e-17
-- Si la probabilidad del *t* valor es menor al *p*-value de 0.05, tendríamos que .grey[rechazar] a `\(H_0\)`. -- .blue[La hipótesis] `\(H_0\)` es `\(H_0:\rho=0\)`, _p.e._, es decir, no hay autocorrelación. -- **Paso 5:** Concluimos para este caso que .black[existe] suficiente evidencia estadística para rechazar `\(H_0\)` y por ende tenemos autocorrelación. --- layout: true # Autocorrelación: Breush-Pagan ## Ejemplo: Modelo rezagado --- **Paso 1:** Estimamos el modelo en rezago (1, 0) con MCO. ```r # Estimar el modelo mco_est <- lm( y ~ lag(y) + x, data = base ) # Resumen tidy(mco_est) ```
term
estimate
std.error
statistic
p.value
(Intercept)
-3.85e-10
2.78e-10
-1.38
0.179
lag(y)
1.02
1.21e-15
8.42e+14
0
x
-1.84e-16
1.97e-16
-0.934
0.359
--- **Paso 2:** Guardamos los residuos de ese modelo ```r # Guardar residuos base$ebg <- c(NA, residuals(mco_est)) ``` -- **Nota:** Colocamos la parte de `NA` porque el primer rezago desaparece (*valor perdido*). --- <img src="Class09_files/figure-html/bg2b1-1.png" style="display: block; margin: auto;" /> --- **Paso 3:** Regresión de los residuos con un intercepto, variables explicativas, y residuos rezagados. ```r # BG reg bg_mod <- lm( ebg ~ lag(y) + x + lag(ebg) + lag(ebg, 2), data = base ) ``` <template id="b23bada6-8292-4df5-b801-68799c300a84"><style> .tabwid table{ border-spacing:0px !important; border-collapse:collapse; line-height:1; margin-left:auto; margin-right:auto; border-width: 0; display: table; margin-top: 1.275em; margin-bottom: 1.275em; border-color: transparent; } .tabwid_left table{ margin-left:0; } .tabwid_right table{ margin-right:0; } .tabwid td { padding: 0; } .tabwid a { text-decoration: none; } .tabwid thead { background-color: transparent; } .tabwid tfoot { background-color: transparent; } .tabwid table tr { background-color: transparent; } </style><div class="tabwid"><style>.cl-9f5f758e{}.cl-9f5bcd6c{font-family:'Helvetica';font-size:11pt;font-weight:normal;font-style:normal;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-9f5bcd76{font-family:'Helvetica';font-size:11pt;font-weight:normal;font-style:italic;text-decoration:none;color:rgba(0, 0, 0, 1.00);background-color:transparent;}.cl-9f5bd9e2{margin:0;text-align:left;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);padding-bottom:5pt;padding-top:5pt;padding-left:5pt;padding-right:5pt;line-height: 1;background-color:transparent;}.cl-9f5bd9e3{margin:0;text-align:right;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);padding-bottom:5pt;padding-top:5pt;padding-left:5pt;padding-right:5pt;line-height: 1;background-color:transparent;}.cl-9f5bfe2c{width:52.9pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe2d{width:63.3pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe36{width:23.6pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe37{width:92.7pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe38{width:73.1pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe39{width:54.2pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe3a{width:23.6pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe40{width:92.7pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe41{width:63.3pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe42{width:54.2pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe43{width:52.9pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe44{width:73.1pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe4a{width:52.9pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe4b{width:92.7pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe4c{width:54.2pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe4d{width:63.3pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe4e{width:73.1pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe54{width:23.6pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe55{width:73.1pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe56{width:52.9pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe5e{width:23.6pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe5f{width:63.3pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe86{width:92.7pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe87{width:54.2pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe88{width:23.6pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe89{width:73.1pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe8a{width:63.3pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe90{width:52.9pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe91{width:92.7pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe9a{width:54.2pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe9b{width:63.3pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe9c{width:92.7pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfe9d{width:52.9pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfea4{width:54.2pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfea5{width:23.6pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfea6{width:73.1pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-top: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-left: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);border-right: 0 solid rgba(255, 255, 255, 0.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfea7{width:63.3pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfea8{width:54.2pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfea9{width:92.7pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfeae{width:73.1pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfeaf{width:52.9pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}.cl-9f5bfeb0{width:23.6pt;background-color:transparent;vertical-align: middle;border-bottom: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-top: 2pt solid rgba(102, 102, 102, 1.00);border-left: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);border-right: 0 solid rgba(0, 0, 0, 1.00);margin-bottom:0;margin-top:0;margin-left:0;margin-right:0;}</style><table class='cl-9f5f758e'><thead><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-9f5bfeae"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c"></span></p></td><td class="cl-9f5bfea7"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">Estimate</span></p></td><td class="cl-9f5bfea9"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">Standard Error</span></p></td><td class="cl-9f5bfeaf"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">t value</span></p></td><td class="cl-9f5bfea8"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">Pr(>|t|)</span></p></td><td class="cl-9f5bfeb0"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c"></span></p></td></tr></thead><tbody><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-9f5bfe38"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">(Intercept)</span></p></td><td class="cl-9f5bfe2d"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.000</span></p></td><td class="cl-9f5bfe37"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.000</span></p></td><td class="cl-9f5bfe2c"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">1.768</span></p></td><td class="cl-9f5bfe39"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.0909</span></p></td><td class="cl-9f5bfe36"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">.</span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-9f5bfe44"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">lag(y)</span></p></td><td class="cl-9f5bfe41"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">-0.000</span></p></td><td class="cl-9f5bfe40"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.000</span></p></td><td class="cl-9f5bfe43"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">-1.743</span></p></td><td class="cl-9f5bfe42"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.0953</span></p></td><td class="cl-9f5bfe3a"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">.</span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-9f5bfe4e"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">x</span></p></td><td class="cl-9f5bfe4d"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.000</span></p></td><td class="cl-9f5bfe4b"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.000</span></p></td><td class="cl-9f5bfe4a"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">1.702</span></p></td><td class="cl-9f5bfe4c"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.1029</span></p></td><td class="cl-9f5bfe54"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c"></span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-9f5bfe44"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">lag(ebg)</span></p></td><td class="cl-9f5bfe41"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.094</span></p></td><td class="cl-9f5bfe40"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.197</span></p></td><td class="cl-9f5bfe43"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.479</span></p></td><td class="cl-9f5bfe42"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.6366</span></p></td><td class="cl-9f5bfe3a"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c"></span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td class="cl-9f5bfe55"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">lag(ebg, 2)</span></p></td><td class="cl-9f5bfe5f"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">-0.039</span></p></td><td class="cl-9f5bfe86"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.087</span></p></td><td class="cl-9f5bfe56"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">-0.441</span></p></td><td class="cl-9f5bfe87"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd6c">0.6633</span></p></td><td class="cl-9f5bfe5e"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c"></span></p></td></tr></tbody><tfoot><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-9f5bfe89"><p class="cl-9f5bd9e3"><span class="cl-9f5bcd76">Signif. codes: 0 <= '***' < 0.001 < '**' < 0.01 < '*' < 0.05 < '.' < 0.1 < '' < 1</span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-9f5bfea6"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c"></span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-9f5bfea6"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">Residual standard error: 1.731e-11 on 22 degrees of freedom</span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-9f5bfea6"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">Multiple R-squared: 0.3141, Adjusted R-squared: 0.1894</span></p></td></tr><tr style="overflow-wrap:break-word;"><td colspan="6"class="cl-9f5bfea6"><p class="cl-9f5bd9e2"><span class="cl-9f5bcd6c">F-statistic: 2.519 on 22 and 4 DF, p-value: 0.0704</span></p></td></tr></tfoot></table></div></template> <div class="flextable-shadow-host" id="bbadcdce-e40c-458d-b1c7-0a62b79263d1"></div> <script> var dest = document.getElementById("bbadcdce-e40c-458d-b1c7-0a62b79263d1"); var template = document.getElementById("b23bada6-8292-4df5-b801-68799c300a84"); var caption = template.content.querySelector("caption"); if(caption) { caption.style.cssText = "display:block;text-align:center;"; var newcapt = document.createElement("p"); newcapt.appendChild(caption) dest.parentNode.insertBefore(newcapt, dest.previousSibling); } var fantome = dest.attachShadow({mode: 'open'}); var templateContent = template.content; fantome.appendChild(templateContent); </script> --- **Paso 4:** Prueba `\(F\)` (o `\(\text{LM}\)`) Para probar si `\(\rho_1=\rho_2=0\)`. -- *Recuerde:* Debemos usar la prueba `\(F\)`, nos permite moldear de esta forma las hipótesis (Mire: `\(\rho_1=\rho_2=0\)`) -- `$$\begin{align} F_{q,\,n-p} = \dfrac{\left(\text{SRC}_r - \text{SRC}_{nr}\right)\big/q}{\text{SRC}_{nr}\big/\left( n-p \right)} \end{align}$$` -- Donde `\(q\)` es el número de restricciones y `\(p\)` es el número de parámetros del modelo *no restringido* (incluyendo el intercepto). -- Podemos usar la función de `waldtest()` del paquete `lmtest` de R para esto. --- **Paso 4:** Prueba `\(F\)` (o `\(\text{LM}\)`) Para probar si `\(\rho_1=\rho_2=0\)`. ```r # BG regresion bg_mod <- lm( ebg ~ lag(y) + x + lag(ebg) + lag(ebg, 2), data = base ) # Usamos el test p_load(lmtest) waldtest(bg_mod, c("lag(ebg)", "lag(ebg, 2)")) ``` -- Aquí, estamos implementando la opción de `waldtest` para probar -- - La especificación del modelo `bg_mod` (nuestro .blue[modelo no restringido]) -- - Contra un modelo sin los términos `lag(ebg)` y `lag(ebg, 2)` (nuestro .blue[modelo restringido]) --- **Paso 4:** Prueba `\(F\)` (o `\(\text{LM}\)`) Para probar si `\(\rho_1=\rho_2=0\)`. ```r # BG regresion bg_mod <- lm( ebg ~ lag(y) + x + lag(ebg) + lag(ebg, 2), data = base ) # Usamos el test p_load(lmtest) waldtest(bg_mod, c("lag(ebg)", "lag(ebg, 2)")) ```
Res.Df
Df
F
Pr(>F)
22
24
-2
0.399
0.676
--- **Paso 5:** Conclusiones -- Con un *p*-value de ∼0.676, .blue[No rechazamos la hipotesis nula.] -- - No podemos rechazar que `\(\rho_1=\rho_2=0\)`. -- - No podemos rechazar la "no autocorrelación" en el modelo. -- -- Sin embargo, .blue[Vamos a testear también la autocorrelación de orden]: AR(2). -- Podemos obtener diferentes respuestas con diferentes pruebas. -- El *p*-value para el AR(1) es 0.0178—que sugiere una autocorrelación de primer orden *este modelo es para una econometría mas avanzada*. --- layout: false # Autocorrelación: Durbin-Watson -- Es la mas conocida para encontrar autocorrelación. -- - Asume que `\(\mu_{t}=\rho\mu_{t-1}+\epsilon_{t}\)` y sigue una distribución asintótica. -- - La formula del estadístico es: `$$d= \frac{\sum \limits_{t=2}^{T} (\mu_{t}-\mu_{t-1})^{2}}{\sum \limits_{t=1}^{T} \mu^{2}_{t}}$$` -- - El estadístico DW, se puede aproximar como: `\(d\approx 2(1-\rho)\)` -- - Como el coeficiente de correlación oscila entre `\(-1\)` y `\(1\)`, el estadístico DW se situara entre 0 y 4, es decir: `\(0 \leq d \leq 4\)` -- - En el mejor de los casos, `\(d=2\)`, nos indicaría que .black[NO] habría problema de autocorrelación. --- # Autocorrelación: Durbin-Watson -- <img src="images/autodwatson.png" width="980" /> --- class: title-slide-section-red, middle # Como corregir ❓ ... <br> <img src="images/lognig.png" width="380" /> --- background-size: 100% background-image: url(https://media.giphy.com/media/Cfv6YnAUgmTPOTWFNy/giphy.gif) ??? Image test. Taken from gyfty. --- # Autocorrelación: Corrección Método Cochrane-Orcutt -- Realizar una **transformación** del modelo original con un .black[modelo de diferencias] teniendo en cuenta el parámetro de la correlación del residuo. -- - Hallar el parámetro `\(\rho\)`. `$$\epsilon_{t}= \rho \epsilon_{t-1} + v_{t}$$` -- - Se aplica la transformación de **primeras diferencias**. `$$Y_{t}-\rho Y_{t-1}= \beta_{0}(1-\rho)+\beta_{1}(X_{t}-\rho X_{t-1})+ \mu_{t}$$` -- - De esta forma ya se ha corregido el problema. --- # Autocorrelación: Corrección Método Cochrane-Orcutt -- Vamos a tener un modelo de: -- `$$\text{Ventas}_t=\beta_0+\beta_1\text{inventarios}_t+ \epsilon_t$$` -- **Paso 1:** Estimar el modelo ```r library(dynlm) # Modelo dinámico library(orcutt) # Corrección Autocorrelación base_da<-read_excel("regauto.xlsx") reg.dyn<-dynlm(ventas~inventarios, data = base_da) reg.dyn %>% broom::tidy() ```
term
estimate
std.error
statistic
p.value
(Intercept)
-903
1.17e+03
-0.775
0.443
inventarios
0.643
0.00289
223
1.72e-63
--- # Autocorrelación: Corrección Método Cochrane-Orcutt -- **Paso 2:** Hallar estadistico D-Watson ```r dwtest(reg.dyn) ``` ``` #> #> Durbin-Watson test #> #> data: reg.dyn #> DW = 1.3743, p-value = 0.01175 #> alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0 ``` -- Note que el estadístico DW, cae en la zona de **autocorrelación positiva**. Debemos proceder a su corrección --- # Autocorrelación: Corrección Método Cochrane-Orcutt -- **Paso 3:** Corregir el problema ```r cochrane.orcutt(reg.dyn) ``` ``` #> Cochrane-orcutt estimation for first order autocorrelation #> #> Call: #> dynlm(formula = ventas ~ inventarios, data = base_da) #> #> number of interaction: 3 #> rho 0.311047 #> #> Durbin-Watson statistic #> (original): 1.37429 , p-value: 1.175e-02 #> (transformed): 2.04410 , p-value: 4.902e-01 #> #> coefficients: #> (Intercept) inventarios #> -966.166560 0.642991 ``` -- > De tal manera que el modelo ya esta corregido --- # Autocorrelación: Corrección Método Cochrane-Orcutt --
(1)
(2)
(Intercept)
-902.827
-966.167
(1165.121)
(1673.581)
inventarios
0.643 ***
0.643 ***
(0.003)
(0.004)
N
42
42
R2
0.999
0.998
logLik
-414.513
AIC
835.026
*** p < 0.001; ** p < 0.01; * p < 0.05.
--- class: title-slide-section-grey # Bibliografía
Gujarati, D. N., & Porter, D. C. (2011). *Econometria Básica*. Ed. Porto Alegre: AMGH..
Stock, J. H., Watson, M. W., & Larrión, R. S. (2012). *Introducción a la Econometría*.
Wooldridge, J. M. (2015). *Introductory econometrics: A modern approach*. Cengage learning. --- class: title-slide-final, middle # Gracias por su atención! ### Carlos Andres Yanes Guerra
cayanes@uninorte.edu.co
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